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By J. Hymers

ISBN-10: 1148136924

ISBN-13: 9781148136929

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Example text

A1 10 + a0 , und berechne den Rest von n bei Division durch m über die Reste der a0 , a1 , . . , aj , gewichtet mit den Resten der 1, 10, . . , 10j . 5 beschriebene Verfahren auf die Zahlen 5, 8 und 9 an, findet man ohne Probleme auch die üblichen Teilbarkeitsregeln für 5 (letzte Ziffer), 8 (letzten drei Ziffern), 9 (Quersumme). Auf die gleiche Weise erhält man auch solche Teilbarkeitsregeln für jede andere Zahl. Die Diskussion von Teilbarkeitsregeln hat auf neue Strukturen geführt, nämlich die Restklassen modulo m zusammen mit ihren Additionen und Multiplikationen.

Es folgt r = a − qd = a − q(ax0 + by0 ) = ax + by , wobei wir x = 1 − qx0 und y = −qy0 setzen. Da d = ax0 + by0 die kleinste natürliche Zahl der Form ax + by mit x, y ∈ Z ist, muss r = 0 gelten. Aber dann gilt a = qd, das heißt d | a. Analog zeigt man d | b, indem man d mit Rest durch b teilt und den Rest betrachtet. Damit ist dann auch (i) gezeigt. 13 sagt, dass es den ggT(a, b) wirklich gibt. 13 sagt uns im Prinzip auch, wie man ihn findet: Er ist das kleinste Element der Menge M = {ax + by ∈ N | x, y ∈ Z}.

In der Mathematik hat das Wort eine sehr viel spezifischere Bedeutung: Es handelt sich um eine Methode, die in Situationen angewendet wird, in denen man eine Familie von Aussagen beweisen möchte, die durch natürliche Zahlen durchnummeriert werden. Sie beruht auf folgendem Prinzip: Man findet alle natürlichen Zahlen, wenn man bei 1 anfängt und immer weiter zählt. Wenn man also für jedes n ∈ N eine Aussage A(n) hat und weiß, dass A(1) wahr ist, dann genügt es, A(n) ⇒ A(n + 1) zu zeigen, um zu garantieren, dass alle A(n) wahr sind.

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